У меня и не возникло вопроса: что делал отец с ребёнком в парке в четыре утра. Сама с дочкой достаточно долго ходила в такое время по парку гулять. Уходила часа в четыре, а к шести домой возвращалась, до парка идти минут 15-20, да и это скорее лес, чем парк. Ну не спала она дома, а в парке спала. Брала собаку с собой, кофе и вперёд. Много гуляющих родителей видела, но в основном во дворах, в парк видимо побаивались ходить. Но мне с собакой не страшно было, мимо проходящий субъект точно связываться не будет. Я и сейчас часто с собакой по ночам гуляю, многие собачники так делают (особенно, если собака крупная): днём людей много.
По поводу коляски: дочка переворачивала только совсем легкую прогулочную коляску и то только когда специально озоровала. На мой взгляд, не так просто коляску опрокинуть, они все-таки устойчивые.